STATISTIKA MAXWELL-BOLTZMANN

Dalam statistik ini setiap tingkat energi dianggap dapat ditempati oleh partikel mana saja dan setiap tingkat energi memiliki probabilitas yang sama untuk ditempati. Mencari probabilitas penempatan partikel adalah mencari jumlah cara bagaimana partikel tersebut ditempatkan. Jika N adalah jumlah keseluruhan partikel yang terlibat dalam sistem ini, maka cara penempatan partikel adalah sebagai berikut:

v  Untuk menempatkan partikel pertama ada N cara (karena ada N partikel yang terlibat).

v  Untuk menempatkan partikel yang kedua ada (N – 1) cara (karena sesudah penempatan partikel pertama masih terdapat (N – 1) partikel).

v  Untuk menempatkan partikel yang ketiga ada (N – 2) cara, dan seterusnya. Jumlah cara untuk menempatkan n1 dari N partikel di tingkat E1 adalah N(N −1)(N − 2)(N − 3)......(N − n1)

Mekanika statistik dikembangkan sebagai kebutuhan untuk memberi landasan yang kokoh bagi fenomena termodinamik. Dua fisikawan mashur disebut sebagai pelopornya, yaitu Boltzman di Jerman dan Gibbs di Amerika Serikat. Bab ini akan membahas penurunan persamaan gas ideal dengan menggunakan konsep fisika statistik yaitu statistik Maxwell-Boltzman. Perhatikan bahwa persamaan gas ideal dituliskan bukan dalam bentuk sebab melalui pendekatan mekanika statistik kita mulai mempersoalkan gerak molekul-molekul gas.

Statistika Maxwell-Boltzmann sering digambarkan sebagai statistika bagi zarah klasik “terbedakan”. Sistem zarah klasik terbedakan merupakan sistem zarah yang konfigurasinya berbeda ketika dua atau lebih zarah dipertukarkan. Dengan kata lain, konfigurasi

zarah A di dalam keadaan 1 dan zarah B di dalam keadaan 2 berbeda dengan konfigurasi ketika zarah B berada dalam keadaan 1 sedangkan zarah A dalam keadaan 2.  

    Ketika gagasan di atas diimplementasikan akan dihasilkan distribusi (Boltzmann) biasa bagi zarah dalam berbagai tingkat energi. Fungsi distribusi ini menghasilkan hasil yang kurang fisis untuk entropi, sebagaimana ditunjukkan dalam “paradoks Gibbs” [1,2,3,4]. Namun, masalah itu tidak muncul pada peninjauan statistik ketika semua zarah dianggap tak terbedakan. Secara khusus, statistika Maxwell-Boltzmann berguna untuk mempelajari berbagai sifat gas mampat.

      Ruang Fase

Ruang fase sangat berguna dalam membahas distribusi kecepatan molekul. Setiap titik dalam ruang fase adalah representasi lengkap dari posisi dan kecepatan setiap molekul. Jika kecepatan setiap molekul dinyatakan sebagai vektor dengan titik tangkap pada pusat koordinat maka vektor-vektor ini akan menembus permukaan khayal tertentu. Untuk setiap vektor kecepatan berlaku :

 

Setiap vektor yang bersesuaian dengan satu molekul dan direpresentasikan oleh anak panah dapat diwakili oleh ujung vektor berupa titik. Titik-titik ini akan membetuk sebuah ruang yang kita sebut sebagai ruang kecepatan (velocity space).

          Ruang repsentasi kecepatan adalah ruang tiga dimensi Kartesian dengan dan.. Pada ruang kecepatan, ada kemungkinan dua buah vektor berimpit. Keadaan ini bersesuaian dengan keadaan bahwa dua molekul memilki kecapatan yang persis sama, kendati posisinya berbeda. Dalam ruang fase, tidak mungkin ada dua titik representasi berimpit sebab posisi setiap molekul unik.

Suatu elemen volume  dalam ruang fase diasumsikan mengandung banyak sekali titik representasi. Elemen-elemen volume selanjutnya dipandang sebagai bilik kemudian diberi nomor. Kita dapat mendefinisikan densitas pada masing-masing elemen volume ini 

 

Densitas ini akan merupakan fungsi dari 3 peubah ruang dan 3 peubah kecepatan; dan perlu dirumuskan bentuk eksplisinya.

      Keadaan Mikro dan Keadaan Makro

Keadaan mikro dapat dipandang sebagai satu hasil pemotretan dimana data lengkap posisi dan kecepatan setiap molekul diketahui. Jika pada berbagai titik waktu dilakukan pemotertan, maka setiap hasil pemotretan ini adalah satu keadaan mikro.

Ada kemungkinan dari sekian banyak keadaan mikro sebenarnya merepresentasikan keadaan makro yang sama. Jumlah keadaan mikro untuk suatu keadaan makro dapat berbeda-beda. Mislanya seperti yang ditunjukkan dalam gambar berikut :

 

Gambar 7.1: Ilustrasi sebuah keadaan makro.

 

      Bobot Statistik

Andaikan buah molekul terbagi ke dalam bilik dimana masing-masing bilik berisi

 

dimana biasa juga disebut sebagai bobot statistik (Statistical weight). Faktorial dari bilangan yang ordernya hinggan akan sangat besar sehingga perlu trik khusus untuk menghitungnya. Kita akan menggunakan pendekatan Stirling yaitu 

Selanjutnya, kita akan merumuskan entropi yang secara mekanika statistik didefinsikan sebagai :

 

Bersambung Keburu ngantukkkkk

Pandu Gelombang

1.      Definisi Pandu Gelombang

Pandu gelombang adalah sebuah medium yang digunakan untuk memandu gelombang, seperti gelombang elektromagnetik atau gelombang suara. Pandu gelombang yang digunakan berbeda-beda disesuaikan dengan jenis gelombang yang akan dipandu. Pandu gelombang yang asli dan yang paling umum digunakan adalah pipa berongga yang terbuat dari logam yang konduktif yang digunakan untuk membawa gelombang radio berfrekuensi tinggi khususnya gelombang mikro (microwaves).

Pandu gelombang memiliki bentuk geometri yang berbeda-beda yang dapat menahan energy dalam satu dimensi seperti pandu gelombang yang berbentuk lempeng (slab waveguide) atau dalam dua dimensi seperti dalam fiber atau channel waveguide. Selain itu, pandu gelombang yang berbeda digunakan untuk memandu gelombang dengan frekuensi yang berbeda-beda; contohnya fiber optic digunakan untuk memandu cahaya (frekuensi tinggi) dan tidak memandu gelombang micro yang memiliki frekuensi yang lebih rendah dibandingkan dengan cahaya tampak. Sebuah aturan yang harus diingat adalah lebar dari pandu gelombang harus memiliki orde yang sama dengan besar dari panjang gelombang yang akan dipandu. Terdapat beberapa struktur dialam yang bertindak sebagai pandu gelombang; contohnya sebuah lapisan di lautan yang dapat memandu suara paus dalam jarak yang sangat jauh.

2.      Cara Kerja Pandu Gelombang

Gelombang-gelombang dalam ruang terbuka dipropagasikan ke semua arah, seperti gelombang speris (bola). Dengan cara ini, mereka akan kehilangan energinya sebanding dengan kuadrat jaraknya; oleh karena itu pada jarak R dari sumber besar energinya adalah energy sumber dibagi dengan R². Pandu gelombang menahan gelombang untuk dipropagasikan dalam satu dimensi, sehingga dalam kondisi ideal gelombang tidak akan kehilangan energinya selama dipropagasikan.

Gelombang-gelombang dalam pandu gelombang tertahan karena total refleksi dari dinding gelombang, sehingga propagasi dalam pandu gelombang kira-kira dapat digambarkan seperti “zigzag” diantara dinding-dinding pandu gelombang. Deskripsi ini tepat untuk gelombang elektromagnetik dalam tabung berongga yang berbentuk persegi atau lingkaran.

Konsep dasar moda terpandu biasanya dijelaskan dengan menggunakan model sinar optik. Moda tersebut dapat digunakan karena proses pemanduan cahaya dalam pandu gelombang erat kaitannya dengan fenomena-fenomena sinar optik pada bidang batas antara dua medium. Gelombang optik yang terpandu dalam pandu gelombang dalam bentuk moda gelombang optik adalah gelombang optik yang mengalami pantulan internal total pada kedua bidang batas film-kover dan film-substrat. Dalam penjabaran mekanisme perambatan cahaya pada serat optik, biasanya dijelaskan berdasarkan teori sinar.

 

Gambar 2.1 Propagasi Gelombang pada Serat Fiber Optik

Berdasarkan prinsip Snellius

Dengan n adalah indeks bias udara, n₁ indeks bias inti (core). Indeks bias udara sebesar 1, maka 

Kemudian perambatan sinar antara inti (core) dengan selubung (cladding)

Supaya terjadi pemantulan internal total, maka θ₄ harus sebesar π/2. Dengan demikian

 

Atau θ₃ biasa disebut dengan sudut kritis ϕ_c  

 

 

 

 

Dengan demikian agar sinar dapat terpandu pada core, sudut masukannya

 

Atau 

 

Biasanya persamaan terakhir disebut sebagai tingkap numeris (numeric aperture, NA).

 

1.      Bahan yang Sering Digunakan Sebagai Bahan Pandu Gelombang

Bahan yang sering digunakan sebagai bahan pandu gelombang adalah serat/fiber optic Dalam perkembangannya, serat optik tidak hanya digunakan sebagai sarana telekomunikasi tapi juga sebagai sensor. Kelebihan dari serat optik sebagai sensor ini adalah tidak terpengaruh dari radiasi EM, memiliki ketelitian tinggi (dalam orde mikro), penempatan lebih mudah, dan dapat menampung banyak informasi dalam satu serat. Cahaya sebagai carier dari informasi yang memiliki rentang panjang gelombang dan frekuensi tentunya memberikan ukuran bandwith tersendiri tergantung sifat cahaya sumber yang digunakan.

Dalam bidang telekomunikasi, serat optik digunakan sebagai pengganti kabel-kabel telpon atau kabel-kabel data. Misal dalam satu daerah terdapat 500 sambungan telpon dan separuhnya digunakan untuk akses data (internet), bisa saja kabel yang digunakan mencapai dua kali lipat dari sambungan yang ada. Jika menggunakan serat optik untuk jalur telpon, dengan memanfaatkan cahaya dengan berbagai panjang gelombang dalam satu serat, maka bisa menampung dua hingga lima sambungan (digunakan serat optik dengan jumlah berkas sinar lima macam panjang gelombang).

Serat optik terdiri dari dua bagian yaitu bagian inti (core) dan bagian selubung (cladding). Pada bagian inti memiliki indeks bias yang lebih besar dibandingkan indeks bias selubung supaya terjadi pemantulan internal total berkas sinar yang digunakan. Berdasarkan struktur indeks biasnya, serat optik dibedakan menjadi dua yaitu serat optik step index dan serat optik graded index. Serat optik step index memiliki inti yang berindeks bias seragam atau sama. Sedangkan pada graded index memiliki indeks bias menurun secara gradual dari sumbu inti sampai bidang batas selubung. Dalam fabrikasi, serat optik ditambahkan pelindung yang biasa disebut dengan jaket (coating).

Gambar 3.1 Bagian Serat Fiber Optik

1.      Penjalaran Gelombang dalam Pandu Gelombang

Gelombang elektromagnetik yang dipropagasikan sepanjang sumbu pandu gelombang dapat dijelaskan melalui persamaan gelombang yang diturunkan dari persamaan Maxwell, dan dimana panjang gelombangnya bergantung terhadap struktur dari pandu gelombang, dan material yang berada di dalamnya (udara, plastic, vakum, dll), dan juga frekuensi dari gelombangnya.Distribusi spasial dari medan listrik dan medan magent yang bergantung waktu di dalam pandu gelombang bergantung terhadap kondisi pada syarat batas yang ditetapkan oleh bentuk dan material dari pandu gelombang. Kita anggap pandu gelombang terbuat dari bahan logam konduktor yang baik sehingga dapat kita anggap sebagai konduktor yang sempurna. Hampir semua pandu gelombang memiliki tembaga pada bagian dalamnya, ettapi bebebrapa diantaranya bahkan dilapisi dengan perak atau emas pada bagian dalam (konduktor yang sangat baik dan tahan terhadap korosi). Sekarang, kondisi pada syarat batasnya adalah sebgai berikut:

· Gelombang elektromagentik tidak melewati konduktor, melainkan direfleksikan

· Setiap medan listrik yang menyentuh konduktor harus berada dalam posisi tegak lurus terhadap sumbu pansu gelombang.

· Setiap medan magentik yang berada dalam konduktor harus berada dalam posisi sejajar terhadap sumbu pandu gelombang.

Kondisi syarat batas ini menghilangkan solusi persamaan gelombang yang tak terbatas, salah satu yang tersisa merupakan solusi yang paling mungkin untuk persamaan gelombang dalam pandu gelombang. Analisis dari solusi yang tersisa pada gelombang elektromagnetik sangat matematis.

Mode propagasi dalam sebuah pandu gelombang merupakan salah satu solusi dari persamaan gelombang, atau dengan kata lain bentuk dari gelombangnya. Karena “constraint” dari kondisi batas, maka frekuensi dan bentuk dari fungsi gelombang yang dapat di propagasikan dalam pandu gelombang menjadi terbatas. Frekuensi terendah dalam mode tertentu yang dapat di propagasikan disebut “cutoff frequency” dari mode tersebut. Mode dengan “cutoff frequency” terendah merupakan mode dasar daripandu gelombang, dan “cutoff frequency-nya” adalah “cutoff frequency” pandu gelombang.

Pemantulan Gelombang 2D pada Batas Tetap

Kita anggap propagasi gelombang 2D terjadi dengan arah vector k(k₁,k₂) pada sumbu x dan y sepanjang membran dengan lebar b, membentang dengan tegangan T antara kedua bidang batas yang merepresentasikan impedansi tak terhingga pada gelombang.

Kita lihat pada gambar 4.1 bahwa dari garis y = b komponen k₁ tidak terpengaruh sementara k₂ menjadi –k₂. Pemantulan pada y = 0 komponen k₁ tidak terpengaruh  sementara –k₂ menjadi k₂ seperti semula. Sistem gelombang pada membran akan diberikan oleh superposisi dari insiden dan gelombang tercermin, yaitu:

dengan batas:

z = 0 pada y = 0 dan y = b

Karena impedansinya tak terhingga, maka pada kondisi z = 0 pada y = 0 dibutuhkan:

A₂ = -A₁

dan z = 0 pada y = b memberikan:

sin k₂b = 0

Gambar 4.1 Propagasi gelombang dua dimensi sepanjang membran dengan impedansi yang tak terhingga pada y =  0 dan y = b memberikan pembalikan k₂ pada setiap pemantulan

atau  

Dengan nilai A₂ dan k₂ perpindahan dari sistem gelombang diberikan oleh bagian nyata dari z, yaitu:

z = +2A₁ sin k₂ y sin (wt-k₁x)

yang merepresentasikan suatu gelombang yang menjalar sepanjang arah x dengan kecepatan:

dimana v, kecepatan pada luas membrane tak berhingga, diberikan oleh:

 

dimana 

karena

k² = k₁² + k₂²

Sekarang

 

sehingga

 

Dan kecepatan kelompok untuk gelombang pada arah x

 

memberikan

 

Sejak k₁ harus nyata untuk penjalaran gelombang maka:

 

dengan kondisi:

 

dimana:

 

atau

 

Pandu gelombang menggunakan seluruh sistem gelombang terutama pada aplikasi akustik dan elektromagnetik. Fiber optik pada dasarnya menggunakan prinsip pandu gelombang, tetapi pada umumnya pandu gelombang sering digunakan pada gelombang elektromagnetik telekomunikasi. Ini tercermin pada permukaan sebuah tabung tembaga yang berbentuk lingkaran atau permukaan persegi panjang. Dengan catatan pada kasus ini kecepatan pada ruang hampa akan sama dengan kecepatan cahaya

 

v_p adalah kecepatan fase, tetapi hubungan v_pv_g = c² memastikan energi dalam gelombang selalu
menjalar dengan kecepatan kelompok  v_g < c.

 

Gambar 4.2 Variasi amplitudo dengan arah y untuk dua-dimensi menjalar gelombang sepanjang
membran dari Gambar 4.1. Mode normal (n ¼ 1, 2 dan 3 yang ditampilkan) ditetapkan sepanjang sumbu dibatasi oleh impedansi yang tak berhingga.